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廿TT

譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

ワイブル分布の対数モーメント

要旨

確率密度関数,

\displaystyle f(x)=\frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\}

を持つ, ワイブル分布に従う確率変数の自然対数の期待値は,

 \displaystyle  - \frac{1}{m}\gamma + \log \eta

である. ここで γオイラーの定数( オイラーの定数 - Wikipedia ).

導出

\displaystyle E(\log X) = \int^{\infty}_{0} \log x f(x) \, dx \\
\displaystyle =  \int^{\infty}_{0} \log x \frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\}\, dx

 x^m = y と置くと,  x=y^{1/m}, dy = m x^{m-1} dx .

\displaystyle E(\log X) 
\displaystyle =  \int^{\infty}_{0} \log y^{1/m} \left( \frac{1}{\eta} \right)^{m} \exp \left(-\frac{y}{\eta ^m} \right) \, dy \\
\displaystyle =  \frac{1}{m \eta ^m} \int^{\infty}_{0}  \log(y) \exp\left(-\frac{y}{\eta^m}\right)\, dy

さらに,  y/\eta^m = u と置くと,  dy = \eta^m du .

\displaystyle E(\log X) =\int^{\infty}_{0}  \log(u \eta^m) \exp(-u)\,du \\
= \displaystyle \frac{1}{m} \int^{\infty}_{0}  \log u \exp(-u)\,du +\log \eta \int^{\infty}_{0}  \exp(-u)\,du \\
=\displaystyle  - \frac{1}{m}\gamma + \log \eta

R でシミュレーション

> m <- 5
> eta <- 3
> X <- rweibull(100000,m,eta)
> mean(log(X))
[1] 0.9839759
> digamma(1)/m + log(eta)
[1] 0.9831692