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廿TT

譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

ワイブル分布の r 次モーメント

要旨

確率密度関数は,

\displaystyle f(x)=\frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\}

を持つ, ワイブル分布の r 次モーメント  M_r はガンマ関数を用いて,

 \displaystyle  \eta^r \Gamma \left( \frac{m+r}{m} \right)

というかんたんな形で表せる.

導出

\displaystyle M_r = \int^{\infty}_{0} x^r f(x) \, dx \\
\displaystyle =  \int^{\infty}_{0} x^r \frac{m}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\}\, dx \\
\displaystyle = \int^{\infty}_{0} x^r m\frac{x^{m-1}}{\eta^m} \exp \left\{-\left(\frac{x}{\eta}\right)^m\right\} \, dx

 \left(\frac{x}{\eta}\right)^m = t と置くと,  x=\eta t^{1/m}, dt = m \frac{x^{m-1}}{\eta^m} dx .

\displaystyle M_r 
\displaystyle =  \int^{\infty}_{0} \eta ^r t^{r/m} \exp(-t) \, dt \\
\displaystyle =  \eta ^r \int^{\infty}_{0}  t^{\frac{m+r}{m}-1} \exp(-t) \, dt \\
\displaystyle =  \eta^r \Gamma\left (\frac{m+r}{m}\right) .

R でシミュレーション

> m <- 5
> eta <- 3
> r <- 1/2
> X <- rweibull(100000,m,eta)
> mean(X^r)
[1] 1.646798
> (eta^r)*gamma((m+r)/m)
[1] 1.647788