廿TT

譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

再生回数の期待値(renewal equation)

例えば電球が切れたら交換し切れたら交換し……というようなプロセスを考える.

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電球それぞれの寿命 X_i>0 は独立に同分布 F(x) に従うとする. X_i は非負の連続型確率変数とする.

イベントが繰り返し生起するため, このような過程を再生過程(または更新過程; renewal process)と呼ぶ.

時刻 t までに生起したイベントの数(交換された電球の数)は N(t) = \max\{n: S_n \ge t \} と表記する. ただし, S_n = \sum^{n}_{i=1} X_i.

この N(t) の期待値 m(t) は,

\displaystyle m(t) =\sum^{\infty}_{n=1}\Pr \{ N(t) \ge n\}.

なぜならば,

\displaystyle E[N(t)] = \sum^{\infty}_{n =1} n \Pr \{N(t) = n\} \\
\displaystyle =  1 \Pr \{ N(t)=1\}+2 \Pr \{ N(t)=2\}+3 \Pr \{ N(t)=3\}+\cdots \\
\displaystyle =  \Pr \{ N(t)=1 \} + \Pr \{ N(t)=2 \} + \Pr \{ N(t)=3 \} +\\
\displaystyle + \Pr \{ N(t)=2 \} + \Pr \{ N(t)=3 \}+\\
\displaystyle + \Pr \{ N(t)=3 \}+\cdots \\
\displaystyle = \sum^{\infty}_{n=1}\Pr \{ N(t) \ge n\}.

ここで,

\displaystyle \{N(t) \ge n\}  \Leftrightarrow \{S_n \le t\}

であるから,

\displaystyle m(t) =\sum^{\infty}_{n=1}\Pr \{ S_n \le t\}.

たたみこみにより,

\displaystyle \Pr \{S_n \le t\} = \int ^{t} _{x=0} \Pr \{ S_{n-1} \le t-x \} d F_X(x) \quad (n \ge 2).

 \Pr \{ S_1 \le t \} = F_X(t) という事実から,

\displaystyle m (t) = F_X(t) + \sum^{\infty}_{n=2} \int^{t}_{x=0} \Pr \{ S_{n-1} \le t-x \} dF_X(x) \\
 \displaystyle =  F_X(t) + \int^{t}_{x=0} \sum^{\infty}_{n=2} \Pr \{ S_{n-1} \le t-x \} dF_X(x) \\
 \displaystyle =  F_X(t) + \int^{t}_{x=0} m(t-x) dF_X(x)

上記の積分方程式は再生方程式(または更新方程式; renewal equation)と呼ばれる.

再生方程式を解析的に解くことは難しいが N(t) 大数の強法則より,  N(t) \to t/\mu ~ (n \to \infty) は明らか( 再生過程における大数の強法則 - 廿TT ).

参考文献:Robert G. Gallager, "Stochastic Processes: Theory for Applications", pp.249-250.

Stochastic Processes: Theory for Applications

Stochastic Processes: Theory for Applications