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譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

再生過程における大数の強法則

確率過程 R

計算

例えば電球が切れたら交換し切れたら交換し……というようなプロセスを考える.

f:id:abrahamcow:20150620133848p:plain

電球それぞれの寿命 X_i>0 は独立に同分布 F(x) に従うとする. X_i は非負の連続型確率変数とする.

イベントが繰り返し生起するため, このような過程を再生過程(または更新過程; renewal process)と呼ぶ.

時刻 t までに生起したイベントの数(交換された電球の数)は N(t) = \max\{n: S_n \le t \} と表記する. ただし, S_n = \sum^{n}_{i=1} X_i.

さしあたり N(t) の漸近的性質を見ることにする.

\displaystyle \mu = E[X_i]
と表記する.

いま,

\displaystyle S_{N(t)} \le t \le S_{N(t) +1}

であるから.

\displaystyle \frac{S_{N(t)}}{N(t)} \le \frac{t}{N(t)} \le \frac{S_{N(t) +1}}{N(t)} = \frac{S_{N(t) +1}}{N(t)+1}\frac{N(t) +1}{N(t)}= \frac{S_{N(t) +1}}{N(t)+1} \left( 1+ \frac{1}{N(t)} \right)

大数の法則より  S_n / n \to \mu ~ (n \to \infty) が成り立つ(確率収束)から, 両辺が μ に収束する.

よって

 \displaystyle \frac{t}{N(t)} \to \mu \quad (n \to \infty)

シミュレーション

t をだんだん大きくしたときの、収束の様子は下図のような感じ.

赤い点線がシミュレーションで仮定した平均 μ の真値.

f:id:abrahamcow:20150630122103p:plain

simu1 <- function(win=100){
  x <- rweibull(5000,shape=3, scale=3)
  t2 <- cumsum(x)
  en <- which.max(t2 > win)
  #    print(sum(x[(sta):(en-1)]) )
  length(1:(en-1))
}

res <- list(10)

wins <- seq(1000,10000,by=1000)
for(j in 1:10){
  m <- numeric(1000)
  for(i in 1:1000){
    m[i] <-wins[j]/simu1(wins[j])
  }
  res[[j]] <- m
}
boxplot(res[[1]],res[[2]],res[[3]],res[[4]],res[[5]],
        res[[6]],res[[7]],res[[8]],res[[9]],res[[10]],xaxt="n",xlab="t")
axis(side=1, labels=wins, at=1:10)
abline(h=3*gamma(1+1/3), lty=2, lwd=2, col="red3")

参考文献

デュレット『確率過程の基礎』pp.261-262

確率過程の基礎

確率過程の基礎