廿TT

譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

単振動の微分方程式

計算

定数 2 階線形常微分方程式,
\displaystyle u''+au'+bu=0 \tag{1}
(a, b :定数)の解は  u=e^{\lambda x} の形で与えられる.

 u'=\lambda e^{\lambda x},  u''=\lambda^2 e^{\lambda x} を (1) に代入し,
\displaystyle \lambda^2 e^{\lambda x}+a \lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0
\displaystyle (\lambda^2 +a \lambda +b) e^{\lambda x}=0
\displaystyle \lambda^2 +a \lambda +b =0 \tag{2}
が導かれる.

ここで, 特に a=0,b=\omega^2(ω > 0)のとき,
\displaystyle u''+\omega^2 u=0
は, 単振動の微分方程式と呼ばれる.

(2) の方程式(特性方程式という)
\displaystyle \lambda^2 +\omega^2=0
を解くと,
\displaystyle \lambda = \pm i \omega.

よって,
\displaystyle u''+\omega^2 u=0
の一般解は
\displaystyle u(x)=C_1 e^{i \omega x} + C_2 e^{- i \omega x}
\displaystyle u(x)=(C_1+C_2) \cos \omega x + (C_1 i - C_2 i) \sin \omega x
オイラーの公式 e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta を用いた)

C_1, C_2 は任意定数なので (C_1+C_2)C_1, (C_1 i - C_2 i) C_2 と改めて置き,
\displaystyle u(x)=C_1\cos \omega x +C_2 \sin \omega x
を得る.

結論

単振動の微分方程式
\displaystyle u''+\omega^2 u=0
の一般解は
\displaystyle u(x)=C_1\cos \omega x +C_2 \sin \omega x .
C_1, C_2 は任意定数.

グラフ

f:id:abrahamcow:20150118174036p:plain

#R です.
u<- function(t,C1=1,C2=1){
  C1*cos(t) + C2*sin(t)
}
tv = seq(1,10,length=100)
uv = u(tv)
plot(uv~tv, xlab="t", ylab="u(t)")

参考

定数係数の2階線形微分方程式(同次)

スバラシク実力がつくと評判の偏微分方程式キャンパス・ゼミ (キャンパス・ゼミシリーズ)

スバラシク実力がつくと評判の偏微分方程式キャンパス・ゼミ (キャンパス・ゼミシリーズ)