廿TT

譬如水怙牛過窓櫺 頭角四蹄都過了 因甚麼尾巴過不得

微分方程式

R: シニングによる非定常ポアソン過程のシミュレーション

ポアソン過程は適当に点を間引いてやっても(非定常)ポアソン過程になる。この性質を使って非定常ポアソン過程をシミュレートすることができて、それをシニング(thinning)と呼ぶ。詳しくは An Introduction to Statistical Computing: A Simulation-based…

バスモデル:エクセルによる需要予測

バスモデルを使って需要予測ができるエクセルシートを以下に公開しました。http://zisatsu.web.fc2.com/monooki/excel/Bass_model.xlsx 使い方 データの列に予測したい対象のこれまでの販売数を入れます。今回は例として トヨタ自動車、ハイブリッド車のグロ…

SIR モデルと非定常ポアソン過程

疫学の SIR 動態モデルへのいろいろなあてはめ…MCMCとか粒子フィルターとか Approximate Bayesian Computation (ABC) とか教えてくれるコース https://t.co/vD5Fk9goGQ があるそうで…昔は最小二乗法でも使ってたのかな? https://t.co/tglcj91WtJ— 久保拓弥 …

Stan の integrate_ode_rk45 を使ってバスモデルのパラメータ推定

以下の微分方程式で記述されるモデルのパラメータを推定します。ほんとうは閉じた形で解が求まるのですが今回は Stan の integrate_ode_rk45 を使って数値的に解を求めます。カラーテレビの普及率のデータ(第1章第2節3 1 情報通信機器の世帯普及率 : 平成1…

拡張カルマンフィルタ:ロジスティック方程式

下記のブログで公開されている拡張カルマンフィルタのコードでもうちょっと遊んでみる. R code for implementing the extended Kalman filter – R code, simulations, and modeling R code for estimating the parameters of an extended Kalman filter mode…

拡張カルマンフィルタによるロトカ・ヴォルテラ方程式へのデータ同化

※ぼくは「データ同化」のなんたるかについてはまるでわかっていない.下記のブログで解説されている, 拡張カルマンフィルタを試してみる. R code for implementing the extended Kalman filter – R code, simulations, and modeling R code for estimating th…

一階線形常微分方程式の解のピークの位置

計算 一階線形常微分方程式とは以下の形で表される微分方程式のことである. 解は, が最大値をとる点を求めるには, と置いて解けばよい. 部分積分の公式を逆に使って, この方程式を解けば, が最大値をとる点が求まる. ここで,より, つまり が最大値をとる点を…

一次元の拡散方程式をノイマン境界条件の下で解く(差分法、陰解法)

陰解法 以下の偏微分方程式が拡散方程式である。ここで x は空間方向の位置を表し、t は時間を表す変数である。 が求めたい未知関数で、初期条件 は与えられた関数である。D は正の定数である。条件 、 のように端点における微分の値を固定する条…

ロトカ・ヴォルテラの方程式のパラメータ推定

ロトカ・ヴォルテラの方程式については、abrahamcow.hatenablog.comを見てください。 hare–lynx データ ここに一組のデータ・セットがあります。 Hare=c(30, 47.2, 70.2, 77.4, 36.3, 20.6, 18.1, 21.4, 22, 25.4, 27.1, 40.3, 57, 76.6, 52.3, 19.5, 11.2, …

ggplot2 で接線場や方向場を描く

接線場 微分方程式の解の振る舞いをみるために接線場を描いてみる。以下で与えられるロジスティック方程式を考える。接線場は t-x 平面の各点に傾き の小さな線分を描いたものである。 logis <- function(t,x,a=1){ a*x*(1-x) } #点(t1,x1)を通り, 傾きが sl…

Nerlove-Arrow の広告−販売モデル

モデル Nerlove と Arrow(読み方はネルロフとアロウでいいのかな?)が提案したらしい広告に対する市場の販売のモデルというのがあり、これは以下の通り教科書に出てくる「一階線形常微分方程式」そのものの形をしている。 A(t) が時刻 t での売上 q(t) が…

めったに起きないコンバージョンの成長の非定常ポアソン過程によるモデル

弱小アフィブログの成長 これは当ブログのアマゾンアフィリエイトレポートの折れ線グラフです。横軸が日付, 縦軸がその日の注文数合計です。注文数合計は 0 が多く, 折れ線グラフは下に潰れて, 注文があった日だけスパイクのようにとげとげつきだしています…

一階線形常微分方程式を使った流行語のモデル

モデル化 流行語は話題にする人が増えれば増えるほどさらに流行しやすくなり、ある時期を超えると忘れられていくと考えられる。このダイナミクスをなるべく簡単な微分方程式で記述したいのでこのような仮説を置いた。 流行語の拡散スピードは話題にされる量…

タンクモデルのシミュレーション

タンクモデルとは 気象庁|土壌雨量指数 気象庁|流域雨量指数 を参照。 (上記ページから引用)シンプルといえばシンプルだけどこんなモデルどうやってパラメータ推定するんだろう。 都市域:1段タンクモデル #R のコード library(deSolve) library(tidyr) …

R を使ってバスモデルを当てはめてみた

バスモデルのなんたるかについては バスモデル - ORWiki を参照。バスモデルは以下の微分方程式で記述される。閉じた形で解が求まる。 検算 deSolve パッケージを使って数値的に解いた値と解析解をくらべて、この解が正しいことを一応確かめた。丸が数値解、…

メモ:可逆反応の微分方程式

可逆反応の微分方程式 反応物 A が反応物 B を生成し, 生成物から反応物に戻る反応もあるとする.微分方程式,は解,を持つ. R で計算 実線が解析解, 点が数値解. rxnrate=function(t,c,parms){ # rate constant passed through a list called parms k1=parms$k…

メモ:逐次反応の微分方程式

逐次反応の微分方程式 反応物 A が反応物 B を生成し, 反応物 B が C を生成する状況を考える. A は A の量に比例する速度で減少する. B は B の量に比例する速度で増加し, C の量に比例する速度で減少する. B は B の量に比例する速度で増加する. とすると…

微分方程式を含むモデルのパラメータ推定(フェルフルストの人口モデル)

要旨 R で微分方程式を含むモデルのパラメータ推定を行う. まずは単純なモデル(解析的に解ける常微分方程式)で練習. deSolve パッケージの ode 関数(4次ルンゲ=クッタ法)で微分方程式を数値積分しつつ, minpack.lm パッケージの nls.lm 関数(Levenberg…

deSolve パッケージで拡散方程式(熱伝導方程式)を数値的に解く

溶質が均一に分布している材料 A から, 材料 B に溶質が供給されていく状況を考える.一次元の拡散方程式は, ここで, D は拡散係数と呼ばれる定数 (D > 0) である.初期条件と境界条件を以下のように与える.初期条件: 境界条件: この微分方程式を deSolve パ…

deSolve パッケージでロトカ・ヴォルテラの方程式を数値的に解く

捕食者と被食者の増減関係 生物の種は互いに影響しあう.ここでは食う‐食われる(捕食者と被食者;predator-prey)の関係を考える. 被食者は捕食者がいなければ, その個体数に比例して増加する( ) 捕食者は被食者がいなければ, その個体数に比例して減少す…

拡散方程式, 差分法, 陽解法, Rによる練習.

目的 拡散方程式の差分解法として最も簡単と思われる陽解法をとりあえず動かしてみる.※本文中のコード、あってるか自信ない. 拡散方程式の差分表式 一次元の拡散方程式は, ここで, u: 濃度 x: 位置 t: 時間 a: 拡散係数と呼ばれる定数 (a > 0) である.今回は…

オイラー法, テイラー級数法, ルンゲ=クッタ法(R による練習)

オイラー法(Euler's Method) オイラー法(Euler's Method)とは, 1階常微分方程式の数値解法の中でおそらくもっともかんたんなもの. この方法は、数学的に理解しやすく、プログラム的にも簡単なので、数値解析の初歩的な学習問題としてよく取りあげられる…

指数近似、対数近似曲線の導出と近似曲線の選び方

導入 実務でデータの分析をやっている方、企業のマーケティングや Web 解析担当者の多くは R などの統計解析に特化したソフトウェアでなく、エクセルを使うことが多いだろう。この記事はそういう方に向けて、「統計モデル」というのがどういうものかを伝えた…

一次元の拡散方程式の解

拡散方程式の解 拡散方程式の手短な導出 - 廿TT 拡散方程式の手短な導出 - 廿TT の続き.今回は溶質が均一に分布している材料 A から, 材料 B に溶質が供給されていく状況を考える.一次元の拡散方程式は, ここで, c: 濃度 x: 位置 t: 時間 D: 拡散係数と呼ば…

単振動の微分方程式

計算 定数 2 階線形常微分方程式, (a, b :定数)の解は の形で与えられる., を (1) に代入し, が導かれる. ここで, 特に (ω > 0)のとき, は, 単振動の微分方程式と呼ばれる.(2) の方程式(特性方程式という) を解くと, .よって, の一般解は (オイラーの…

拡散方程式の手短な導出

数理モデルとはなにか 自然科学の統計学 (基礎統計学)作者: 東京大学教養学部統計学教室出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 1992/08メディア: 単行本購入: 26人 クリック: 308回この商品を含むブログ (21件) を見る 適切な近似モデルを選ぶ上でもう一つ…

ロジャースのイノベーター理論ってこれでいいの?

イノベーター理論とは マーケティング界隈でイノベーター理論というのがある。こんな風だ。 イノベーター(Innovators:革新者):冒険心にあふれ、新しいものを進んで採用する人。市場全体の2.5%。 アーリーアダプター(Early Adopters:初期採用者):流…

感染症のモデル(SIRモデル)に入門した

導入 記法はウィキペディアに合わせる. SIRモデル - Wikipedia 時刻 t において, S(t):感染可能者(Susceptible)の数. これから病気にかかるおそれのある人たち. I(t):感染者(Infected)の数. いま病気にかかっていて人に病気を移す可能性がある人たち. …

ニュートンの冷却の法則を大雑把に理解した

ニュートンの冷却の法則 記法はウィキペディアに合わせよう。ニュートンの冷却の法則 - Wikipedia Q: 物の持つ熱量 t: 時刻 S: 物の表面積 T: 物の温度 Tm: 媒質の温度 の間には次の関係が成り立つ。 比例定数 α は熱伝達率または表面熱伝導率と呼ばれる。 …

微分方程式によるポアソン分布の導出

前口上 おそらく, 確率論や数理統計学の(正統的な)入門書ならば, ポアソン分布の確率関数, (k=1,2,... ; λ>0 定数) が二項分布の極限から導かれることがちゃんと書いてあると思う. ポアソン分布 - Wikipedia ここでは, 二項分布からではなく, 以下の三つの…